Das ist die perfekte Wette

In den vergangenen Blogs hatte ich das Thema Positionsgröße angeschnitten, empirisch untersucht und auch erklärt wie ich diese bei meinen Systemen verwende.

Dazu verfolgte ich bei beiden Systemen eine Risikoparitäts-Strategie. Im wöchentlichen System ergeben sich die Gewichte durch die ständige Adjustierung der Gewichte an die Parameter Portfolio-Größe und Risiko (Volatilität) des jeweiligen Marktes.

Das monatliche System ist etwas simpler: Dort habe ich aus dem historischen Verhalten der Handelsstrategie eines jeden Marktes die volatilitätsadjustierten Gewichte (1/Vola) bestimmt.

Aber ist das optimal? Ist das die perfekte Wette?

In der Literatur gibt es unter der Fragestellung des perfekten Wetteinsatzes das Konzept von John Larry Kelly jr. von 1956. Das Konzept ist bekannt unter seinem Namen: Kelly-Kriterium.

Das Prinzip ist schnell an einem einfachen Beispiel eines Münzwurfes erklärt:

Input Parameter:

  • Gewinnwahrscheinlichkeit: 40% Kopf und 60% Zahl (natürlich keine ganz faire Münze)
  • Ertrag bei Kopf: EUR 2, Verlust bei Zahl: EUR 1
  • wir bekommen das 3-fache zurück bei einem Gewinn, oder wir verlieren alles: Quote 3:0

Dann haben wir als Erwartungswert: E = 0,4 x EUR 2 + 0,6 x EUR (-1) = EUR 0,2
d.h. für jeden Euro den wir in dieses Spiel investieren, erhalten wir EUR 0,2 Ertrag.

Das Spiel ist im Erwartungswert positiv und somit Wert zu spielen. Im Trading Sinne würden wir von einem „Edge“ sprechen. Das System erhält einen Ertrag von EUR 0,2 zusätzlich in jeder Spielrunde mit einem Einsatz von Risikokapital von EUR 1.

Das nennen wir ein R(isk)-multiple von 0,2R.

Jetzt kommt jedoch die spannende Frage:

Wenn wir EUR 100 haben, wieviel davon sollen wir setzten?

Setzten wir z.B. die gesamten EUR 100, dann kann es passieren, dass wir diese gleich beim ersten Wurf verspielt haben. Auch sonst ist die Wahrscheinlichkeit eines Totalverlustes bei 60% nicht gerade klein.

Kelly hat herausgefunden, dass wir optimaler Weise nur einen Anteil der EUR 100 setzen – und zwar genau:

Anteil = (Rückzahlungsquote x Gewinnwahrscheinlichkeit -1) / (Rückzahlungsquote -1)

Die Rückzahlungsquote (Q) in unserem Fall ist 3 , die Gewinnwahrscheinlichkeit ist 0,4. Damit ergibt sich für den optimalen Anteil: (3 x 0,4 – 1) / (3 – 1) = 0,2 / 2 = 0,1.

Das erinnert an die Diskussion über die Positionsgröße im wöchentlichen System. In meinem System hatte ich mich für eine Positionsgröße von 1% entschieden.

Warum nur so wenig?

Nun zum einen konnte ich anhand der verschiedenen Parameter Ertrag, Risiko und Drawdown bzw. MAR (Ertrag pro Drawdown) zeigen, wie riskant die 2% Positionsgröße schon ist. Zum anderen muss man sagen, dass die Kelly-Formel für Wetten z.b. konzipiert wurde. Bei Wetten sind die Eingangsparameter weitestgehend bekannt. Der Münzwurf liefert immer eine 50/50 Chance für Kopf/Zahl. Dies trifft ebenso auf viele andere Spiele zu wie Roulette oder Black Jack.

Hinzu kommt, dass die Inputparameter von Spiel zu Spiel konstant sind. Also die Wahrscheinlichkeit beim Roulette eine bestimmte Zahl zu treffen ist immer gleich hoch und auch der Gewinn beim Roulette pro Zahl ist von vornherein klar.

Am Kapitalmarkt ist alles anders!

Die Parameter für das Verhalten des Systems in den verschiedenen Marktphasen sind viel schwerer zu schätzen und sind auch nicht stabil über die Zeit. So würde eine reine Strategie entlang der Kelly Formel viel zu riskant sein.

In meinem Beispiel hatte ich gezeigt, dass bei einer Positionsgröße von 10% schon Drawdowns von über 60% zu erwarten sind. Demnach sollten deutlich geringere Positionsgrößen eingegangen werden.

Wichtig: Wir wollen so lange wie möglich im Spiel bleiben, da wir von einem positiven Erwartungswert ausgehen!

Bei der Untersuchung der Positionsgröße des Systems sind wir von folgenden Input Faktoren ausgegangen:

  • 69 Gewinne zu 91 Verluste: Also ca. 2:3 oder ca. 40% Gewinnquote
  • Gewinn pro Risiko (R): 1,8 und der Verlust pro Risiko (R): -0,7

Setzen wir das in unsere Formeln ein, dann erhalten wir für den Erwartungswert:

E = 0,4 x EUR 1,8 + 0,6 x EUR -0,7 = 0,3

Das klingt schon mal ganz gut – das System ist profitabel. In der Kelly-Gleichung sieht es dann wie folgt aus:

K = (3,25 x 0,40 – 1) / (3,25 -1) = 0,3 / 2,25 = 0,13, also 13%

In der Tat waren die 13% der Punkt auf der Kurve, welcher den höchsten Ertrag generierte.

Return -Testreihe
Ertrag in Abhängigkeit der Positionsgröße

Der Drawdown war mir jedoch bei dieser Positionsgröße viel zu groß:

maximal Draw Down-Testreihe
Drawdown in Abhängigkeit der Positionsgröße

Einen Drawdown von 80% möchte ich nicht erleben, ich könnte diesen mental nicht aushalten.

Die Übung zeigt die analytische Herleitung der optimalen Positionsgröße, bzw. andersherum die analytisch ermittelte Größe ist auch empirisch beobachtbar.

Wie viele Trader auch, handle ich jedoch nur eine sehr geringen Anteil der optimalen Positionsgröße, da andere Parameter – mentaler Art – großen Einfluss auf den Ertrag haben, als die Kelly-Formel rein rational zeigen würde.

 

MAQS – Global Trend Following

Signale im wöchentlichen System:

  • keine

 

Eure Kommentare sind herzlich willkommen.

Kommentar verfassen

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden /  Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden /  Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden /  Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden /  Ändern )

w

Verbinde mit %s